与えられた二次式 $4x^2 - 4x - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた二次式 $4x^2 - 4x - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式全体を2で括り出します。

$4x^2 - 4x - 2 = 2(2x^2 - 2x - 1)$

次に、$2x^2 - 2x - 1$ を因数分解することを考えます。これは因数分解できないため、解の公式を利用して因数分解を試みます。

$2x^2 - 2x - 1 = 0$ の解は、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

となります。

したがって、$2x^2 - 2x - 1$ は次のように因数分解できます。

$2x^2 - 2x - 1 = 2(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できます。

$4x^2 - 4x - 2 = 2 \cdot 2(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = 4(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

しかし、問題はおそらく因数分解可能な範囲で答えを求めていると思われるので、2で括り出したところで終えるのが適切でしょう。

3. 最終的な答え

$2(2x^2 - 2x - 1)$