2次方程式 $4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$4x^2 - 4x - 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$4x^2 - 4x - 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

$4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ であることから、

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 0$ と $x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} = 0$ が成り立つ。

よって、$2x - (1 + \sqrt{3}) = 0$ と $2x - (1 - \sqrt{3}) = 0$ が成り立つ。

したがって、$4x^2 - 4x - 2$ は、

$(2x - (1 + \sqrt{3}))(2x - (1 - \sqrt{3})) = (2x - 1 - \sqrt{3})(2x - 1 + \sqrt{3})$ という因数を持つ。

展開すると、

$(2x - 1 - \sqrt{3})(2x - 1 + \sqrt{3}) = (2x - 1)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4x^2 - 4x + 1 - 3 = 4x^2 - 4x - 2$

となる。

3. 最終的な答え

$(2x - 1 - \sqrt{3})(2x - 1 + \sqrt{3})$