関数 $y = x^2 - 2ax$ （$-1 \le x \le 3$）の最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求め、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax$ （$-1 \le x \le 3$）の最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求め、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

これは、頂点が $(a, -a^2)$ の下に凸な放物線です。定義域 $-1 \le x \le 3$ における最小値を考えます。

(i) $a < -1$ のとき

定義域 $-1 \le x \le 3$ において、頂点は定義域の左側にあります。したがって、$x = -1$ で最小値をとります。

$x=-1$ を代入すると、$y = (-1)^2 - 2a(-1) = 1 + 2a$

よって、アに入るのは -1、イに入るのは $1+2a$ です。

(ii) $-1 \le a \le 3$ のとき

定義域 $-1 \le x \le 3$ において、頂点が定義域内にあります。したがって、$x = a$ で最小値をとります。

$x=a$ を代入すると、$y = (a - a)^2 - a^2 = -a^2$

これは問題文に与えられているので、アは -1, ウは 3です。

(iii) $3 < a$ のとき

定義域 $-1 \le x \le 3$ において、頂点は定義域の右側にあります。したがって、$x = 3$ で最小値をとります。

$x=3$ を代入すると、$y = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

よって、ウに入るのは 3、エに入るのは $9-6a$ です。

3. 最終的な答え

ア: -1

イ: $1+2a$

ウ: 3

エ: $9-6a$