3次正方行列 $A$ が与えられたとき、ある数を対応させる関数 $F$ がどのような性質を満たせばよいかを考察する。特に、(1)として、$F$ が列に関する多重線形性を持つことを定式化する。ここで、$A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$ であり、$F$ は $a_j, b_j, c_j, j=1,2,3$ の関数である。また、$a = (a_j), b = (b_j), c = (c_j) \in K^3$ とし、$e_j$ を $K^3$ の基本ベクトルとする。

1. 問題の内容

3次正方行列 $A$ が与えられたとき、ある数を対応させる関数 $F$ がどのような性質を満たせばよいかを考察する。特に、(1)として、$F$ が列に関する多重線形性を持つことを定式化する。ここで、$A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$ であり、$F$ は $a_j, b_j, c_j, j=1,2,3$ の関数である。また、$a = (a_j), b = (b_j), c = (c_j) \in K^3$ とし、$e_j$ を $K^3$ の基本ベクトルとする。

2. 解き方の手順

行列式の列に関する多重線形性とは、各列に関して線形性を持つということである。つまり、$A$ の各列ベクトルに対して、以下の性質が成り立つ必要がある。

* **線形性:** ある列ベクトルが2つのベクトルの和で表されるとき、行列式はそれぞれのベクトルに対する行列式の和となる。

* **スカラー倍:** ある列ベクトルがスカラー倍されたとき、行列式もそのスカラー倍される。

これを定式化すると、以下のようになる。

$F(a_1, a_2, a_3)$ は3つの列ベクトル $a_1$, $a_2$, $a_3$ を持つ行列の行列式を表すとする。ここで、$a_1 = \alpha u + \beta v$ のように、列ベクトル $a_1$ が2つのベクトル $u$ と $v$ の線形結合で表される場合を考える。多重線形性より、以下の式が成立する。

$F(\alpha u + \beta v, a_2, a_3) = \alpha F(u, a_2, a_3) + \beta F(v, a_2, a_3)$

同様に、$a_2$ または $a_3$ についても同様の線形性が成立する。

より一般的に、3次正方行列 $A$ の列ベクトルを $a, b, c$ とすると、$F(a, b, c) = det(A)$ は以下の性質を満たす。

1. $F(\alpha a + \beta a', b, c) = \alpha F(a, b, c) + \beta F(a', b, c)$

2. $F(a, \alpha b + \beta b', c) = \alpha F(a, b, c) + \beta F(a, b', c)$

3. $F(a, b, \alpha c + \beta c') = \alpha F(a, b, c) + \beta F(a, b, c')$

ここで、$\alpha, \beta$ はスカラーであり、$a, a', b, b', c, c'$ は3次元ベクトルである。

3. 最終的な答え

3次正方行列 $A$ の列ベクトルを $a, b, c$ とすると、$F(a, b, c) = det(A)$ が列に関して多重線形性を持つとは、以下の性質を満たすことである。

1. $F(\alpha a + \beta a', b, c) = \alpha F(a, b, c) + \beta F(a', b, c)$

2. $F(a, \alpha b + \beta b', c) = \alpha F(a, b, c) + \beta F(a, b', c)$

3. $F(a, b, \alpha c + \beta c') = \alpha F(a, b, c) + \beta F(a, b, c')$