問題は、2次行列式の定義と性質を基に、3次行列式がどのような性質を満たすべきかを考察するものです。具体的には、3次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$ に対して、ある数を対応させる関数$F$を考えます。$F$は$a_j, b_j, c_j (j=1,2,3)$の9つの文字の関数とも、3次元数ベクトル3つの組$(a, b, c)$の関数とも考えられます。ここで、$e_j$を$K^3$の基本ベクトルとして、以下の2つの問いに答えます。 (1) 列に関する多重線形性を定式化する。 (2) 多重線形性を持つと仮定したとき、$D(A)$を$a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$などを用いて展開式で表す。

1. 問題の内容

問題は、2次行列式の定義と性質を基に、3次行列式がどのような性質を満たすべきかを考察するものです。具体的には、3次正方行列 $A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$ に対して、ある数を対応させる関数$F$を考えます。$F$は$a_j, b_j, c_j (j=1,2,3)$の9つの文字の関数とも、3次元数ベクトル3つの組$(a, b, c)$の関数とも考えられます。ここで、$e_j$を$K^3$の基本ベクトルとして、以下の2つの問いに答えます。

(1) 列に関する多重線形性を定式化する。

(2) 多重線形性を持つと仮定したとき、$D(A)$を$a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$などを用いて展開式で表す。

2. 解き方の手順

(1) 多重線形性の定式化

多重線形性とは、各列ベクトルに関して線形性を持つことを意味します。つまり、ある列ベクトルが2つのベクトルの和で表される場合、行列式はそれぞれのベクトルに対する行列式の和になります。また、ある列ベクトルがスカラー倍された場合、行列式も同じスカラー倍されます。

具体的には、以下のように表されます。

* ある列 (例えば第1列) が $a = \alpha u + \beta v$ ($u, v \in K^3$, $\alpha, \beta \in K$) と表されるとき、

$F(\alpha u + \beta v, b, c) = \alpha F(u, b, c) + \beta F(v, b, c)$

* 同様に、

$F(a, \alpha u + \beta v, c) = \alpha F(a, u, c) + \beta F(a, v, c)$

$F(a, b, \alpha u + \beta v) = \alpha F(a, b, u) + \beta F(a, b, v)$

(2) 多重線形性を持つ$D(A)$の展開式の導出

$a, b, c$を基本ベクトルで展開すると、

$a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$

$b = b_1e_1 + b_2e_2 + b_3e_3$

$c = c_1e_1 + c_2e_2 + c_3e_3$

$D(A) = D(a, b, c) = D(a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3, b_1e_1 + b_2e_2 + b_3e_3, c_1e_1 + c_2e_2 + c_3e_3)$

多重線形性より、これを展開すると、27個の項の和になります。

$D(A) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 a_i b_j c_k D(e_i, e_j, e_k)$

さらに、行列式が交代性を持つ（すなわち、2つの列を入れ替えると符号が変わる）ことを考慮します。これにより、$D(e_i, e_j, e_k)$ は、$i, j, k$がすべて異なるときのみ0でない値を持ち、順列 $(i, j, k)$ の偶奇によって符号が変わります。

特に、$D(e_1, e_2, e_3) = 1$となるように$D$を規格化すると、以下のようになります。

$D(e_1, e_2, e_3) = 1$

$D(e_2, e_3, e_1) = 1$

$D(e_3, e_1, e_2) = 1$

$D(e_3, e_2, e_1) = -1$

$D(e_2, e_1, e_3) = -1$

$D(e_1, e_3, e_2) = -1$

その他はすべて0。

したがって、

$D(A) = a_1b_2c_3 D(e_1, e_2, e_3) + a_1b_3c_2 D(e_1, e_3, e_2) + a_2b_1c_3 D(e_2, e_1, e_3) + a_2b_3c_1 D(e_2, e_3, e_1) + a_3b_1c_2 D(e_3, e_1, e_2) + a_3b_2c_1 D(e_3, e_2, e_1)$

$D(A) = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1$

3. 最終的な答え

(1) 列に関する多重線形性の定式化：

$F(\alpha u + \beta v, b, c) = \alpha F(u, b, c) + \beta F(v, b, c)$

$F(a, \alpha u + \beta v, c) = \alpha F(a, u, c) + \beta F(a, v, c)$

$F(a, b, \alpha u + \beta v) = \alpha F(a, b, u) + \beta F(a, b, v)$

(2) 多重線形性を持つ$D(A)$の展開式：

$D(A) = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_3c_1 - a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1$