与えられた4つの2次関数のグラフを描くために、それぞれの頂点の座標を求める問題です。それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $y = 2x^2 - 12x + 16$ (2) $y = -x^2 + 8x - 15$ (3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$ (4) $y = (x+2)(x-4)$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次関数のグラフを描くために、それぞれの頂点の座標を求める問題です。それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $y = 2x^2 - 12x + 16$

(2) $y = -x^2 + 8x - 15$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$

(4) $y = (x+2)(x-4)$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 12x + 16$

まず、平方完成を行います。

$y = 2(x^2 - 6x) + 16$

$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 16$

$y = 2((x - 3)^2 - 9) + 16$

$y = 2(x - 3)^2 - 18 + 16$

$y = 2(x - 3)^2 - 2$

したがって、頂点の座標は $(3, -2)$ です。

(2) $y = -x^2 + 8x - 15$

平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 8x) - 15$

$y = -(x^2 - 8x + 16 - 16) - 15$

$y = -((x - 4)^2 - 16) - 15$

$y = -(x - 4)^2 + 16 - 15$

$y = -(x - 4)^2 + 1$

したがって、頂点の座標は $(4, 1)$ です。

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2}$

平方完成を行います。

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x) + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}((x + 1)^2 - 1) + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$

したがって、頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(4) $y = (x+2)(x-4)$

展開します。

$y = x^2 - 4x + 2x - 8$

$y = x^2 - 2x - 8$

平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x - 8$

$y = (x^2 - 2x + 1 - 1) - 8$

$y = (x - 1)^2 - 1 - 8$

$y = (x - 1)^2 - 9$

したがって、頂点の座標は $(1, -9)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(3, -2)$

(2) 頂点: $(4, 1)$

(3) 頂点: $(-1, 2)$

(4) 頂点: $(1, -9)$