与えられた2次式 $4x^2 - 4x - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $4x^2 - 4x - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $4x^2 - 4x - 2$ の各項の係数を見て、共通因数があるかどうかを確認します。全ての項が2で割り切れるため、2を括り出すことができます。

$4x^2 - 4x - 2 = 2(2x^2 - 2x - 1)$

次に、括弧の中の $2x^2 - 2x - 1$ がさらに因数分解できるかどうかを検討します。

これは $ax^2 + bx + c$ の形をしているので、因数分解できるかどうかは判別式 $D = b^2 - 4ac$ を計算することで判断できます。

$a=2, b=-2, c=-1$ なので、

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 > 0$

判別式が正であるため、実数の範囲で解を持つことがわかりますが、整数係数の因数分解はできません。

解の公式を用いて $2x^2 - 2x - 1=0$ を解くと、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

したがって、$2x^2 - 2x - 1 = 2(x - \frac{1+\sqrt{3}}{2})(x - \frac{1-\sqrt{3}}{2}) = (2x - 1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})$

よって、$4x^2 - 4x - 2 = 2(2x^2 - 2x - 1)$. この式はこれ以上簡単に整数係数の因数分解はできません。

3. 最終的な答え

$2(2x^2 - 2x - 1)$