与えられた不等式 $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 \leq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 \leq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次式を因数分解します。

$x=1$ を代入すると、

$1^3 - 3(1^2) + 4(1) - 2 = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$

となるため、$x-1$ を因数に持つことがわかります。

次に、与式を $x-1$ で割ります。

$$\begin{array}{c|cccc} & 1 & -3 & 4 & -2 \\ 1 & & 1 & -2 & 2 \\ \hline & 1 & -2 & 2 & 0 \end{array}$$

よって、$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)(x^2 - 2x + 2)$ となります。

したがって、不等式は

$(x-1)(x^2 - 2x + 2) \leq 0$

と書き換えられます。

ここで、$x^2 - 2x + 2$ の判別式を計算します。

$D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$

であるため、$x^2 - 2x + 2$ は常に正の値をとります。

よって、$x^2 - 2x + 2 > 0$ です。

したがって、$(x-1)(x^2 - 2x + 2) \leq 0$ を満たすのは、$x-1 \leq 0$ のときです。

つまり、$x \leq 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x \leq 1$