与えられた2次式 $x^2 + 6x + 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + 6x + 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

この式は、整数係数の範囲では因数分解できません。なぜなら、もし $(x+a)(x+b)$ のように因数分解できるとすると、$a+b=6$ かつ $ab=4$ を満たす整数 $a, b$ が存在しなければならないからです。4の約数は1, 2, 4ですが、これらの組み合わせで足して6になるものはありません。

そこで、平方完成を利用して解きます。

$x^2 + 6x + 4$

$= x^2 + 6x + 9 - 9 + 4$

$= (x+3)^2 - 5$

$= (x+3)^2 - (\sqrt{5})^2$

ここで、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用すると、

$= (x+3 + \sqrt{5})(x+3 - \sqrt{5})$

3. 最終的な答え

$(x+3 + \sqrt{5})(x+3 - \sqrt{5})$