与えられた2次関数 $y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ のグラフGについて、以下の問いに答えます。 (1) グラフGの頂点の座標を求めます。 (2) グラフGが点(-1, 6)を通るとき、bのとりうる値の最大値とそのときのaの値を求めます。 (3) bとaの値を用いて、グラフGが2次関数 $y = x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$ のグラフGについて、以下の問いに答えます。

(1) グラフGの頂点の座標を求めます。

(2) グラフGが点(-1, 6)を通るとき、bのとりうる値の最大値とそのときのaの値を求めます。

(3) bとaの値を用いて、グラフGが2次関数 $y = x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフGの頂点の座標を求める。

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$

$y = (x + a - \frac{b}{2})^2 - (a - \frac{b}{2})^2 + a^2 + 1$

$y = (x + a - \frac{b}{2})^2 - (a^2 - ab + \frac{b^2}{4}) + a^2 + 1$

$y = (x + a - \frac{b}{2})^2 + ab - \frac{b^2}{4} + 1$

よって、頂点の座標は $(-\frac{b}{2} + a, -\frac{b^2}{4} + ab + 1)$

ア: 2

イ: 4

ウ: 1

(2) グラフGが点(-1, 6)を通るとき、bのとりうる値の最大値とそのときのaの値を求める。

グラフGが点(-1, 6)を通るので、

$6 = (-1)^2 + (2a - b)(-1) + a^2 + 1$

$6 = 1 - 2a + b + a^2 + 1$

$a^2 - 2a + b - 4 = 0$

$b = -a^2 + 2a + 4$

$b = -(a-1)^2 + 5$

bの最大値は、a = 1のとき、b = 5となります。

aとbは正の実数なので、a = 1, b = 5 は条件を満たします。

エ: 5

オ: 1

(3) b = 5, a = 1のとき、グラフGは2次関数 $y = x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求める。

$y = x^2 + (2a - b)x + a^2 + 1$にa = 1, b = 5を代入すると、

$y = x^2 + (2(1) - 5)x + 1^2 + 1$

$y = x^2 - 3x + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

よって、頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$

$y = x^2$ のグラフをx軸方向に$\frac{3}{2}$、y軸方向に$-\frac{1}{4}$だけ平行移動したものとなります。

カ: $\frac{3}{2}$

キ: $-\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(\frac{b}{2} - a, -\frac{b^2}{4} + ab + 1)$

ア: 2

イ: 4

ウ: 1

(2) bの最大値は5、そのときのaの値は1

エ: 5

オ: 1

(3) x軸方向に$\frac{3}{2}$、y軸方向に$-\frac{1}{4}$平行移動

カ: $\frac{3}{2}$

キ: $-\frac{1}{4}$