$x = \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{2 + \sqrt{2}}$、 $y = \frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{2 + \sqrt{2}} = \frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$y = \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = \frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

(1) $x+y$ を求めます。

$x+y = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(2) $xy$ を求めます。

$xy = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2} = \frac{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}{4} = \frac{4 - 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2$ を求めます。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (2)^2 - 2(\frac{1}{2}) = 4 - 1 = 3$

(4) $x^3y + xy^3$ を求めます。

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = \frac{1}{2}(3) = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2$

(2) $xy = \frac{1}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = 3$

(4) $x^3y + xy^3 = \frac{3}{2}$