$x^4 - 169$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合に因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - 169$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合に因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 169$ を因数分解します。

$x^4 - 169 = (x^2)^2 - (13)^2$ と見なせるので、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いると、

$x^4 - 169 = (x^2 + 13)(x^2 - 13)$ となります。

次に、それぞれの係数の範囲で因数分解を考えます。

- 有理数の範囲:

$x^2 - 13 = 0$ を解くと $x = \pm \sqrt{13}$ となり、$\sqrt{13}$ は無理数であるため、$x^2-13$は有理数の範囲では因数分解できません。

$x^2 + 13 = 0$ を解くと $x = \pm \sqrt{-13} = \pm i\sqrt{13}$ となり、これは虚数なので、$x^2+13$も有理数の範囲では因数分解できません。

したがって、有理数の範囲では $x^4 - 169 = (x^2 + 13)(x^2 - 13)$ となります。

- 実数の範囲:

$x^2 - 13$ は $x^2 - (\sqrt{13})^2$ と見なせるので、$x^2 - 13 = (x + \sqrt{13})(x - \sqrt{13})$ と因数分解できます。

$x^2 + 13$ は $x^2 - (-13)$ と見なせるので、$x^2 + 13 = x^2 - (i\sqrt{13})^2 = (x + i\sqrt{13})(x - i\sqrt{13})$ と因数分解できます。これは複素数まで範囲を広げた因数分解です。

しかし、実数の範囲では、$x^2+13 = 0$は実数解を持たないので、$x^2+13$は実数の範囲では因数分解できません。

したがって、実数の範囲では $x^4 - 169 = (x^2 + 13)(x + \sqrt{13})(x - \sqrt{13})$ となります。

- 複素数の範囲:

$x^2 + 13 = 0$ を解くと $x = \pm \sqrt{-13} = \pm i\sqrt{13}$ となるので、$x^2 + 13 = (x + i\sqrt{13})(x - i\sqrt{13})$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲では $x^4 - 169 = (x + \sqrt{13})(x - \sqrt{13})(x + i\sqrt{13})(x - i\sqrt{13})$ となります。

3. 最終的な答え

- 有理数: $(x^2+13)(x^2-13)$

- 実数: $(x^2+13)(x+\sqrt{13})(x-\sqrt{13})$

- 複素数: $(x+\sqrt{13})(x-\sqrt{13})(x+i\sqrt{13})(x-i\sqrt{13})$