多項式 $P(x) = x^3 + ax + b$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りが $3x+2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax + b$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りが $3x+2$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用する。

$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、

$P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + 3x + 2$ と表せる。

$x=1$ のとき、$P(1) = (1-1)(1-2)Q(1) + 3(1) + 2 = 5$

$P(1) = 1^3 + a(1) + b = 1 + a + b$

したがって、

$1 + a + b = 5$

$a + b = 4$ ...(1)

$x=2$ のとき、$P(2) = (2-1)(2-2)Q(2) + 3(2) + 2 = 8$

$P(2) = 2^3 + a(2) + b = 8 + 2a + b$

したがって、

$8 + 2a + b = 8$

$2a + b = 0$ ...(2)

(2) - (1)より、

$(2a + b) - (a + b) = 0 - 4$

$a = -4$

(1)に代入して、

$-4 + b = 4$

$b = 8$

3. 最終的な答え

$a = -4$, $b = 8$