3次方程式 $x^3 + ax^2 - 3x + b = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - 3x + b = 0$ が $2+i$ を解に持つとき、実数の定数 $a$, $b$ の値と他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $2+i$ が解であるとき、係数が実数であることから、共役複素数 $2-i$ も解となります。

解と係数の関係を利用して、$a$, $b$ を求めます。

まず、$2+i$ と $2-i$ を解に持つ2次式を作ります。

$(x - (2+i))(x - (2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2 - i^2 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$

$x^3 + ax^2 - 3x + b = (x^2 - 4x + 5)(x+c)$ とおけます。

展開すると、$x^3 + ax^2 - 3x + b = x^3 + (c-4)x^2 + (5-4c)x + 5c$ となります。

係数を比較すると、

$a = c - 4$

$-3 = 5 - 4c$

$b = 5c$

$-3 = 5 - 4c$ より、 $4c = 8$ なので $c = 2$ です。

$a = c - 4 = 2 - 4 = -2$

$b = 5c = 5 \cdot 2 = 10$

したがって、元の3次方程式は $x^3 - 2x^2 - 3x + 10 = 0$ となり、

$(x^2 - 4x + 5)(x+2) = 0$と因数分解できます。

よって、$x = -2$ がもう一つの解です。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 10$

他の解: $-2$