問題1：線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 \end{pmatrix}$ を満たすとき、$f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ と表す行列 $A$ を求める。 問題2：線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ がそれぞれ $f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2x_2 + 2x_3 \\ 2x_1 + x_2 - 3x_3 \\ 2x_1 - 3x_2 + x_3 \end{pmatrix}$、$g\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 - x_3 \\ x_1 - x_2 + x_3 \end{pmatrix}$ で与えられているとき、$f\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$g\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$g(f\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix})$ を求める。 問題3：標準基底 $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ において $A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の、基底 $\mathbf{y}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{y}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ における表現行列 $B$ を求める。

1. 問題の内容

問題1：線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 \end{pmatrix}$ を満たすとき、$f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ と表す行列 $A$ を求める。

問題2：線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ がそれぞれ $f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2x_2 + 2x_3 \\ 2x_1 + x_2 - 3x_3 \\ 2x_1 - 3x_2 + x_3 \end{pmatrix}$、$g\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 + x_3 \\ x_1 + x_2 - x_3 \\ x_1 - x_2 + x_3 \end{pmatrix}$ で与えられているとき、$f\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$g\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、$g(f\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix})$ を求める。

問題3：標準基底 $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ において $A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ で表される線形写像 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の、基底 $\mathbf{y}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{y}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ における表現行列 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

問題1：

$f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 + x_2 + 3x_3 \\ x_1 + 4x_2 + 2x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

問題2：

(1) $f\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 6 + 2 \\ 4 + 3 - 3 \\ 4 - 9 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$

(2) $g\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 3 + 1 \\ 2 + 3 - 1 \\ 2 - 3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$

(3) $g(f\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}) = g\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-4) \\ 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 - 1 \cdot (-4) \\ 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 4 - 4 \\ -2 + 4 + 4 \\ -2 - 4 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}$

問題3：

基底変換の式 $[y_1 \quad y_2] = [e_1 \quad e_2]P = [e_1 \quad e_2] \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ より $P = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$Y = [y_1 \quad y_2]$ とおけば、$[e_1 \quad e_2] = E$ (単位行列) であるから、$Y = EP$ と書ける。

基底 $y_1, y_2$ における $f$ の表現行列を $B$ とすると、 $[f(y_1) \quad f(y_2)] = [y_1 \quad y_2]B$ である。ここで、$f(y_1) = Ay_1$ と書けることを考えると、これは $[f(y_1) \quad f(y_2)] = [Ay_1 \quad Ay_2] = AY$ となる。

$[f(y_1) \quad f(y_2)] = [y_1 \quad y_2]B = YB$ であるから $AY = YB$ である。

$Y = EP$ を代入すると、$AEP = EPB$ となり、$E$ は単位行列で、$P$ は正則行列であるから、$B = P^{-1}AP$ と書ける。

$P^{-1} = \frac{1}{(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1)} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -13 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 - 13 & -15 - 26 \\ 8 + 7 & 12 + 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -23 & -41 \\ 15 & 26 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1：$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

問題2：(1) $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}$, (2) $\begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$, (3) $\begin{pmatrix} -10 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix}$

問題3：ア: $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, イ: $P^{-1}AP$, ウ: $\begin{pmatrix} -23 & -41 \\ 15 & 26 \end{pmatrix}$