与えられた式 $S = -1 - 2 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} + (2n-1) \cdot 2^n$ を簡略化し、$S = (2n-3) \cdot 2^n + 3$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $S = -1 - 2 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} + (2n-1) \cdot 2^n$ を簡略化し、$S = (2n-3) \cdot 2^n + 3$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ の式を整理します。

$S = -1 - 2 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

分母の $2-1$ は $1$ なので、

$S = -1 - 2 \cdot 2(2^{n-1} - 1) + (2n-1) \cdot 2^n$

$S = -1 - 4(2^{n-1} - 1) + (2n-1) \cdot 2^n$

$S = -1 - 4 \cdot 2^{n-1} + 4 + (2n-1) \cdot 2^n$

ここで、$4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1+2} = 2^{n+1} = 2^n \cdot 2$ です。

$S = -1 - 2 \cdot 2^n + 4 + (2n-1) \cdot 2^n$

$S = 3 - 2 \cdot 2^n + (2n-1) \cdot 2^n$

$S = 3 + (-2 + 2n - 1) \cdot 2^n$

$S = 3 + (2n - 3) \cdot 2^n$

$S = (2n-3) \cdot 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3) \cdot 2^n + 3$