$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ とする。 (1) $x+y$ と $xy$ の値を求める。 (2) $A = 5x(y-1) + 3(x+2) - 2y - 4$ を変形し、その値を求める。 (3) $x^2 + y^2$, $x^3 + y^3$, $x^2 - y^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ とする。

(1) $x+y$ と $xy$ の値を求める。

(2) $A = 5x(y-1) + 3(x+2) - 2y - 4$ を変形し、その値を求める。

(3) $x^2 + y^2$, $x^3 + y^3$, $x^2 - y^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

$x+y = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

$xy = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

(2) $A = 5x(y-1) + 3(x+2) - 2y - 4 = 5xy - 5x + 3x + 6 - 2y - 4 = 5xy - 2x - 2y + 2 = 5xy - 2(x+y) + 2$

$A = 5(1) - 2(4) + 2 = 5 - 8 + 2 = -1$

(3) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = 4^3 - 3(1)(4) = 64 - 12 = 52$

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

$x-y = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

$x^2 - y^2 = (4)(2\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 4$, $xy = 1$

(2) $A = 5xy - 2(x+y) + 2$, $A = -1$

(3) $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$, $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

$x^2 + y^2 = 14$, $x^3 + y^3 = 52$

$x^2 - y^2 = 8\sqrt{3}$