与えられた式 $S = -1 - 2 \cdot \frac{2(2^{n}-1)}{2-1} + (2n-1) \cdot 2^{n}$ を簡略化し、$S = (2n-3) \cdot 2^{n} + 3$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $S = -1 - 2 \cdot \frac{2(2^{n}-1)}{2-1} + (2n-1) \cdot 2^{n}$ を簡略化し、$S = (2n-3) \cdot 2^{n} + 3$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ の式を簡略化します。

$S = -1 - 2 \cdot \frac{2(2^{n}-1)}{1} + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S = -1 - 4(2^{n}-1) + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S = -1 - 4 \cdot 2^{n} + 4 + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S = 3 - 4 \cdot 2^{n} + (2n-1) \cdot 2^{n}$

$S = 3 + (-4 + 2n - 1) \cdot 2^{n}$

$S = 3 + (2n - 5) \cdot 2^{n}$

$S = (2n - 5) \cdot 2^{n} + 3$

問題文では、$S = (2n - 3) \cdot 2^{n} + 3$ となると書かれていますが、上記の計算では $S = (2n - 5) \cdot 2^{n} + 3$ になります。

3. 最終的な答え

$S = (2n - 5) \cdot 2^{n} + 3$

与えられた最終的な答えは $S = (2n - 3) \cdot 2^{n} + 3$ で、計算結果とは一致しません。

与えられた式を正しく計算すると$S = (2n - 5) \cdot 2^{n} + 3$となります。