与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ と初期条件 $a_1 = 1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ と初期条件 $a_1 = 1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形をしているため、階差数列の考え方を利用して一般項を求めます。

まず、$a_{n+1} - a_n = 3n - 1$ であることがわかります。数列$\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義すると、$b_n = 3n - 1$ となります。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 1$ と $b_k = 3k - 1$ を代入すると、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 3k = 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{3}{2} n(n-1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1) = \frac{3}{2} n(n-1) - (n-1) = \frac{3n^2 - 3n}{2} - \frac{2n - 2}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 2}{2}$

$a_n = 1 + \frac{3n^2 - 5n + 2}{2} = \frac{2 + 3n^2 - 5n + 2}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$

これは $n \ge 2$ のときの結果です。 $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3(1)^2 - 5(1) + 4}{2} = \frac{3 - 5 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致します。

よって、一般項は $a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$