数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2a_n - n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2a_n - n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立つことを利用する。

まず、$n=1$ のとき、$S_1 = a_1$ であるから、$S_1 = 2a_1 - 1$ より、$a_1 = 2a_1 - 1$。これを解いて $a_1 = 1$。

次に、$n \ge 2$ のとき、$S_n = 2a_n - n$ と $S_{n-1} = 2a_{n-1} - (n-1)$ を考える。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ より、

$a_n = (2a_n - n) - (2a_{n-1} - (n-1))$

$a_n = 2a_n - n - 2a_{n-1} + n - 1$

$a_n = 2a_n - 2a_{n-1} - 1$

$0 = a_n - 2a_{n-1} - 1$

$a_n = 2a_{n-1} + 1$

これは、特性方程式 $x = 2x + 1$ を解くと $x = -1$ であるから、

$a_n + 1 = 2(a_{n-1} + 1)$

したがって、数列 $\{a_n + 1\}$ は初項 $a_1 + 1 = 1+1 = 2$, 公比 2 の等比数列である。

よって、$a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n = 2^n - 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ となり、$a_1 = 1$ と一致する。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2^n - 1$。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 1$