ある放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線をx軸方向に$p$, y軸方向に$q$だけ平行移動すると、式は$y-q = f(x-p)$となる。

今回はx軸方向に1, y軸方向に-2だけ平行移動しているので、$p=1, q=-2$である。移動後の式が$y = -2x^2 + 3x - 1$なので、移動前の式は$y-(-2) = -2(x-1)^2 + 3(x-1) - 1$となる。

これを整理すると、

$y + 2 = -2(x^2 - 2x + 1) + 3x - 3 - 1$

$y + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 3x - 4$

$y = -2x^2 + 7x - 6 - 2$

$y = -2x^2 + 7x - 8$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 7x - 8$