与えられた3次式 $2x^3 - x^2 + 2x - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $2x^3 - x^2 + 2x - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた3次式を因数分解するために、因数定理と組立除法を利用します。

まず、与式を $P(x) = 2x^3 - x^2 + 2x - 1$ とおきます。

$P(x) = 0$ となるような $x$ を探します。$x = \frac{1}{2}$ を代入してみると、

$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = 2(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + 1 - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$

となるので、$x = \frac{1}{2}$ は $P(x) = 0$ の解であり、$P(x)$ は $(x - \frac{1}{2})$ を因数に持ちます。

あるいは、$(2x - 1)$ を因数に持ちます。

次に、組立除法を用いて $2x^3 - x^2 + 2x - 1$ を $(2x - 1)$ で割ります。

または、$x=\frac{1}{2}$ を用いて組立除法を行うために、

$P(x)=(x-\frac{1}{2})(ax^2+bx+c)$ と表せるため、$2x^3 - x^2 + 2x - 1 = (2x - 1)(x^2 + 1)$ を確認します。

$(2x - 1)(x^2 + 1) = 2x^3 - x^2 + 2x - 1$ となるため、$P(x) = (2x - 1)(x^2 + 1)$ が正しいことがわかります。

したがって、$2x^3 - x^2 + 2x - 1 = (2x - 1)(x^2 + 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(x^2 + 1)$