与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。少なくとも1回は列に関する基本変形を用いる必要があり、サラスの方法は使用できません。最終的には三角行列に変形し、対角成分の積を計算することで行列式を求めます。 与えられた行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} $
2025/6/25
1. 問題の内容
与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。少なくとも1回は列に関する基本変形を用いる必要があり、サラスの方法は使用できません。最終的には三角行列に変形し、対角成分の積を計算することで行列式を求めます。
与えられた行列は以下の通りです。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
5 & 1 & 5 & 4 \\
2 & 6 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1
\end{vmatrix}
2. 解き方の手順
ステップ1: 第1列を基準に、第2列、第3列、第4列の要素を0にする操作を行います（行基本変形）。
まず、第1行を-5/3倍して第2行に加えます（② - (5/3)①）。
次に、第1行を-2/3倍して第3行に加えます（③ - (2/3)①）。
最後に、第1行を-2/3倍して第4行に加えます（④ - (2/3)①）。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 6 & 3 & -4 \\
0 & 3 & 4 & -3
\end{vmatrix}
ステップ2: 第2列を基準に、第3列、第4列の要素を0にする操作を行います（行基本変形）。
まず、第2行を-6倍して第3行に加えます（③ - 6②）。
次に、第2行を-3倍して第4行に加えます（④ - 3②）。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 0 & -57 & 32 \\
0 & 0 & -26 & 15
\end{vmatrix}
ステップ3: 第3列を基準に、第4列の要素を0にする操作を行います（行基本変形）。
第3行を-26/(-57) = 26/57 倍して第4行に加えます（④ - (26/57)③）。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 0 & -57 & 32 \\
0 & 0 & 0 & 15 - (26/57) * 32
\end{vmatrix}
15 - (26/57) * 32 = 15 - (832/57) = (855-832)/57 = 23/57
\begin{vmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 0 & -57 & 32 \\
0 & 0 & 0 & 23/57
\end{vmatrix}
ステップ4: 対角成分の積を計算します。
3 * 1 * (-57) * (23/57) = 3 * (-23) = -69
ステップ5: 列の基本変形を行う。
第3列目に第1列目を加える（③ + ①）。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 0 & 6 \\
5 & 1 & 10 & 4 \\
2 & 6 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 1
\end{vmatrix}
ステップ6: 第1行の-2倍を第2列目に足す（④ - 2①）。
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
5 & 1 & 10 & -6 \\
2 & 6 & 3 & -4 \\
2 & 3 & 4 & -3
\end{vmatrix}
ステップ7: 第1列目に関して余因子展開を行う。
3 \times \begin{vmatrix}
1 & 10 & -6 \\
6 & 3 & -4 \\
3 & 4 & -3
\end{vmatrix}
ステップ8: 3x3行列の行列式を計算する。
1(3 \times -3 - (-4 \times 4)) - 10(6 \times -3 - (-4 \times 3)) + (-6)(6 \times 4 - 3 \times 3) = 1(-9+16) - 10(-18+12) - 6(24-9) = 7 - 10(-6) - 6(15) = 7 + 60 - 90 = -23
ステップ9: 4x4行列の行列式を計算する。
3 \times (-23) = -69
3. 最終的な答え
-69