ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_{10} = 100$、$S_{20} = 400$ である。この数列の初項から第30項までの和 $S_{30}$ を求めよ。

1. 問題の内容

ある等差数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_{10} = 100$、$S_{20} = 400$ である。この数列の初項から第30項までの和 $S_{30}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とする。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ である。

$S_{10} = 100$ より、

$\frac{10}{2}(2a + (10-1)d) = 100$

$5(2a + 9d) = 100$

$2a + 9d = 20$ ...(1)

$S_{20} = 400$ より、

$\frac{20}{2}(2a + (20-1)d) = 400$

$10(2a + 19d) = 400$

$2a + 19d = 40$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(2a + 19d) - (2a + 9d) = 40 - 20$

$10d = 20$

$d = 2$

$d = 2$ を (1) に代入すると、

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

したがって、初項 $a = 1$、公差 $d = 2$ である。

$S_{30} = \frac{30}{2}(2a + (30-1)d)$

$S_{30} = 15(2(1) + 29(2))$

$S_{30} = 15(2 + 58)$

$S_{30} = 15(60)$

$S_{30} = 900$

3. 最終的な答え

900