2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、2次式 $2x^2 + 12x + 14$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることを利用して、2次式 $2x^2 + 12x + 14$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $2x^2 + 12x + 14 = 0$ の解が $x = -3 \pm \sqrt{2}$ であることから、2次式 $2x^2 + 12x + 14$ は、$x - (-3 + \sqrt{2})$ と $x - (-3 - \sqrt{2})$ を因数に持ちます。したがって、

$2x^2 + 12x + 14 = 2(x - (-3 + \sqrt{2}))(x - (-3 - \sqrt{2}))$

$= 2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$

$= 2((x+3) - \sqrt{2})((x+3) + \sqrt{2})$

$= 2((x+3)^2 - (\sqrt{2})^2)$

$= 2((x^2 + 6x + 9) - 2)$

$= 2(x^2 + 6x + 7)$

ここで、$x^2+6x+7=0$の解を求めると

$x=\frac{-6\pm\sqrt{36-28}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-6\pm2\sqrt{2}}{2}=-3\pm\sqrt{2}$

と問題文の条件と一致します。

したがって、$2x^2 + 12x + 14 = 2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$ が因数分解の結果となります。

3. 最終的な答え

$2(x + 3 - \sqrt{2})(x + 3 + \sqrt{2})$