ある投資顧問会社が、2つの投資案A（年10%のリターン）とB（年20%のリターン）を顧客に提供している。顧客は投資資金をAとBに分割して投資し、総投資額と希望年間収益を達成したい。3人の顧客について、総投資額 $k_1$ と希望年間収益 $k_2$ が与えられている。 (1) Aへの投資額を $x_1$、Bへの投資額を $x_2$ とするとき、総投資額に関する式と希望年間収益に関する式を $x_1, x_2, k_1, k_2$ を用いて表す。 (2) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix}$ を用いて、(1)で得られた式を行列を用いて表現する（$A\mathbf{x} = \mathbf{k}$ の形）。 (3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (4) 求めた逆行列を用いて、顧客#1 の総投資額と希望年間収益 $\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000 \\ 240 \end{pmatrix}$ から、AとBに投資する額 $x_1, x_2$ を決定する。 (5) 同様に顧客#2, #3 についても求める。

1. 問題の内容

ある投資顧問会社が、2つの投資案A（年10%のリターン）とB（年20%のリターン）を顧客に提供している。顧客は投資資金をAとBに分割して投資し、総投資額と希望年間収益を達成したい。3人の顧客について、総投資額 $k_1$ と希望年間収益 $k_2$ が与えられている。

(1) Aへの投資額を $x_1$、Bへの投資額を $x_2$ とするとき、総投資額に関する式と希望年間収益に関する式を $x_1, x_2, k_1, k_2$ を用いて表す。

(2) ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix}$ を用いて、(1)で得られた式を行列を用いて表現する（$A\mathbf{x} = \mathbf{k}$ の形）。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

(4) 求めた逆行列を用いて、顧客#1 の総投資額と希望年間収益 $\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000 \\ 240 \end{pmatrix}$ から、AとBに投資する額 $x_1, x_2$ を決定する。

(5) 同様に顧客#2, #3 についても求める。

2. 解き方の手順

(1) 総投資額に関する式と希望年間収益に関する式を立てる。

総投資額は $x_1 + x_2 = k_1$ であり、希望年間収益は $0.1x_1 + 0.2x_2 = k_2$ である。

(2) (1)の式を行列で表現する。

$A\mathbf{x} = \mathbf{k}$ の形にすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0.1 & 0.2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{k} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix}$ となる。

したがって、

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0.1 & 0.2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0.1 & 0.2 \end{pmatrix}$ の行列式は $1 \cdot 0.2 - 1 \cdot 0.1 = 0.2 - 0.1 = 0.1$ である。

よって、

$A^{-1} = \frac{1}{0.1} \begin{pmatrix} 0.2 & -1 \\ -0.1 & 1 \end{pmatrix} = 10 \begin{pmatrix} 0.2 & -1 \\ -0.1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -10 \\ -1 & 10 \end{pmatrix}$

(4) 顧客#1 について $x_1$ と $x_2$ を求める。

$\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000 \\ 240 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 2 & -10 \\ -1 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2000 \\ 240 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2000 - 10 \cdot 240 \\ -1 \cdot 2000 + 10 \cdot 240 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4000 - 2400 \\ -2000 + 2400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1600 \\ 400 \end{pmatrix}$

したがって、$x_1 = 1600$ (千円), $x_2 = 400$ (千円)

(5) 顧客#2 と #3 について同様に計算する。

顧客#2: $\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5000 \\ 750 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 2 & -10 \\ -1 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5000 \\ 750 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 5000 - 10 \cdot 750 \\ -1 \cdot 5000 + 10 \cdot 750 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10000 - 7500 \\ -5000 + 7500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2500 \\ 2500 \end{pmatrix}$

したがって、$x_1 = 2500$ (千円), $x_2 = 2500$ (千円)

顧客#3: $\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1000 \\ 130 \end{pmatrix}$

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 2 & -10 \\ -1 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1000 \\ 130 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1000 - 10 \cdot 130 \\ -1 \cdot 1000 + 10 \cdot 130 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2000 - 1300 \\ -1000 + 1300 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 700 \\ 300 \end{pmatrix}$

したがって、$x_1 = 700$ (千円), $x_2 = 300$ (千円)

3. 最終的な答え

顧客#1: Aに1600千円、Bに400千円

顧客#2: Aに2500千円、Bに2500千円

顧客#3: Aに700千円、Bに300千円