$x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x^2 - 7x + 12$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x^2 - 7x + 12$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 - 7x + 12$ で $x^3 + ax^2 - 2x + b$ を割った時の余りが0になるように、$a$と$b$を決定します。

まず、$x^2 - 7x + 12$ を因数分解すると、 $(x-3)(x-4)$ となります。

$x^3 + ax^2 - 2x + b$ が $x^2 - 7x + 12$ で割り切れるので、

$x^3 + ax^2 - 2x + b$ は $(x-3)$ と $(x-4)$ で割り切れます。

したがって、$x=3$ と $x=4$ を代入したときに 0 になるはずです。

$x = 3$ を代入すると、

$3^3 + a(3^2) - 2(3) + b = 0$

$27 + 9a - 6 + b = 0$

$9a + b = -21$ ...(1)

$x = 4$ を代入すると、

$4^3 + a(4^2) - 2(4) + b = 0$

$64 + 16a - 8 + b = 0$

$16a + b = -56$ ...(2)

(2) - (1) より

$(16a + b) - (9a + b) = -56 - (-21)$

$7a = -35$

$a = -5$

$a = -5$ を (1) に代入すると、

$9(-5) + b = -21$

$-45 + b = -21$

$b = 24$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 24$