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与えられた3次式 $x^3 + 7x^2 + 15x + 9$ を因数分解せよ。

代数学因数分解多項式
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた3次式 x3+7x2+15x+9x^3 + 7x^2 + 15x + 9 を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次式を P(x)=x3+7x2+15x+9P(x) = x^3 + 7x^2 + 15x + 9 とおく。
因数定理を用いて、 P(x)P(x) を割り切る (x−α)(x - \alpha) を探す。
P(−1)=(−1)3+7(−1)2+15(−1)+9=−1+7−15+9=0P(-1) = (-1)^3 + 7(-1)^2 + 15(-1) + 9 = -1 + 7 - 15 + 9 = 0 となるため、P(x)P(x) は (x+1)(x+1) を因数に持つ。
次に、P(x)P(x) を (x+1)(x+1) で割る。
多項式の割り算を行うと、
x3+7x2+15x+9=(x+1)(x2+6x+9)x^3 + 7x^2 + 15x + 9 = (x+1)(x^2 + 6x + 9)
となる。
さらに、x2+6x+9x^2 + 6x + 9 を因数分解すると、
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
したがって、
P(x)=(x+1)(x+3)2P(x) = (x+1)(x+3)^2

3. 最終的な答え

(x+1)(x+3)2(x+1)(x+3)^2

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