3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 14 = 0$ が $x = -1$ と $x = -2$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 14 = 0$ が $x = -1$ と $x = -2$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めます。

2. 解き方の手順

$x = -1$ と $x = -2$ が解であることから、これらを方程式に代入します。

$x = -1$ を代入すると:

$(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 14 = 0$

$-1 + a - b - 14 = 0$

$a - b = 15$ ...(1)

$x = -2$ を代入すると:

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 14 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 14 = 0$

$4a - 2b = 22$

$2a - b = 11$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(2a - b) - (a - b) = 11 - 15$

$a = -4$

(1) に $a = -4$ を代入すると:

$-4 - b = 15$

$b = -19$

よって、方程式は $x^3 - 4x^2 - 19x - 14 = 0$ となります。

$x = -1$ と $x = -2$ が解なので、$(x+1)(x+2)$ で割り切れるはずです。

$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$ なので、$x^3 - 4x^2 - 19x - 14$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ります。

$x^3 - 4x^2 - 19x - 14 = (x^2 + 3x + 2)(x - 7)$

したがって、$x^3 - 4x^2 - 19x - 14 = (x+1)(x+2)(x-7) = 0$

解は $x = -1, -2, 7$ となります。他の解は $x=7$ です。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -19$

他の解: $7$