放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を平行移動して原点を通るようにする。 (1) $y$軸方向への平行移動量 $k$ を求め、移動後の放物線の方程式を求める。 (2) $x$軸方向への平行移動について同様のことを行う。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を平行移動して原点を通るようにする。

(1) $y$軸方向への平行移動量 $k$ を求め、移動後の放物線の方程式を求める。

(2) $x$軸方向への平行移動について同様のことを行う。

2. 解き方の手順

(1) $y$軸方向への平行移動

$y$軸方向に $k$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 + k$ となる。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るためには、 $x = 0, y = 0$ を代入したときに等式が成り立つ必要がある。

したがって、 $0 = 0^2 - 4(0) + 3 + k$ となる。

これを解くと、$k = -3$ が得られる。

よって、移動後の放物線の方程式は $y = x^2 - 4x + 3 - 3$ となり、整理すると $y = x^2 - 4x$ となる。

(2) $x$軸方向への平行移動

$x$軸方向に $m$ だけ平行移動すると、放物線の方程式は $y = (x - m)^2 - 4(x - m) + 3$ となる。

この放物線が原点 $(0, 0)$ を通るためには、$x = 0, y = 0$ を代入したときに等式が成り立つ必要がある。

したがって、$0 = (0 - m)^2 - 4(0 - m) + 3$ となる。

これを整理すると、$0 = m^2 + 4m + 3$ となる。

これは $m$ に関する二次方程式なので、解の公式または因数分解で解く。

$(m + 1)(m + 3) = 0$ より、$m = -1, -3$ となる。

$m = -1$ のとき、放物線の方程式は $y = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3 = x^2 - 2x$ となる。

$m = -3$ のとき、放物線の方程式は $y = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3 = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3 = x^2 + 2x$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $y$軸方向: $k = -3$, $y = x^2 - 4x$

(2) $x$軸方向: $m = -1$ のとき $y = x^2 - 2x$, $m = -3$ のとき $y = x^2 + 2x$