$a+b+c = 0$ のとき、次の等式を証明する問題です。 (1) $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ (2) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$

1. 問題の内容

$a+b+c = 0$ のとき、次の等式を証明する問題です。

(1) $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$

(2) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$a+b+c=0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$。

よって、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (-c)(-a)(-b) = -abc$

(2)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解します。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$a+b+c=0$ なので、

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$

したがって、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ が証明されました。

(2) $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ が証明されました。