(1) $(\bigcirc + \Box) \div \frac{1}{2}xy = 6x - 14$ において、$\bigcirc$ と $\Box$ に当てはまる式を求める。 (2) $(x+a)(x-b) = x^2 + cx - 24$ において、$a, b, c$ が全て自然数であるとき、$a$ に当てはまる数を全て求める。

1. 問題の内容

(1) $(\bigcirc + \Box) \div \frac{1}{2}xy = 6x - 14$ において、$\bigcirc$ と $\Box$ に当てはまる式を求める。

(2) $(x+a)(x-b) = x^2 + cx - 24$ において、$a, b, c$ が全て自然数であるとき、$a$ に当てはまる数を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$(\bigcirc + \Box) \div \frac{1}{2}xy = 6x - 14$ を変形する。

両辺に $\frac{1}{2}xy$ を掛けると、

$\bigcirc + \Box = (6x - 14) \times \frac{1}{2}xy$

$\bigcirc + \Box = 3x^2y - 7xy$

ここで、$\bigcirc$ と $\Box$ は何でも良いので、例えば $\bigcirc = 3x^2y$ 、$\Box = -7xy$ とすれば良い。別の例として、$\bigcirc = 0$、 $\Box = 3x^2y - 7xy$ でも良い。

問題文に特に指定がないので、$\bigcirc$ と $\Box$ は一意に定まらない。しかし、最も単純な解答として $\bigcirc = 3x^2y$ と $\Box = -7xy$ とする。

(2) $(x+a)(x-b) = x^2 + cx - 24$ を展開すると、

$x^2 + (a-b)x - ab = x^2 + cx - 24$

よって、$a-b = c$ かつ $ab = 24$ である。

$ab = 24$ を満たす自然数の組 $(a, b)$ は、

$(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1)$ である。

このとき、$c = a - b$ であるから、$c$ はそれぞれ

$1 - 24 = -23$,

$2 - 12 = -10$,

$3 - 8 = -5$,

$4 - 6 = -2$,

$6 - 4 = 2$,

$8 - 3 = 5$,

$12 - 2 = 10$,

$24 - 1 = 23$ となる。

$a, b, c$ は全て自然数であるから、$c > 0$ となる必要がある。

したがって、

$(a, b, c) = (6, 4, 2), (8, 3, 5), (12, 2, 10), (24, 1, 23)$ である。

よって、$a = 6, 8, 12, 24$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\bigcirc = 3x^2y$, $\Box = -7xy$

(2) $a = 6, 8, 12, 24$