次の4つの式を、公式を用いて展開する問題です。 (1) $(3x-2y)(x+5y)$ (2) $(5a+4b)(5a-4b)$ (3) $(a+b-2c)^2$ (4) $(x+2y)^2(x-2y)^2$

1. 問題の内容

次の4つの式を、公式を用いて展開する問題です。

(1) $(3x-2y)(x+5y)$

(2) $(5a+4b)(5a-4b)$

(3) $(a+b-2c)^2$

(4) $(x+2y)^2(x-2y)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(3x-2y)(x+5y)$

展開の公式 $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ を用いて展開します。

$3x^2 + (15-2)xy -10y^2 = 3x^2+13xy-10y^2$

(2) $(5a+4b)(5a-4b)$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用いて展開します。

$(5a)^2 - (4b)^2 = 25a^2 - 16b^2$

(3) $(a+b-2c)^2$

$(a+b-2c)^2 = (a+b+(-2c))^2$ と変形し、$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$ の公式を用います。

$a^2+b^2+(-2c)^2 + 2ab + 2b(-2c)+2a(-2c) = a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4bc - 4ca$

(4) $(x+2y)^2(x-2y)^2$

$(x+2y)^2(x-2y)^2 = [(x+2y)(x-2y)]^2$ と変形し、和と差の積の公式を用います。

$(x^2-4y^2)^2$ となります。

$(x^2-4y^2)^2$ を展開します。$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を用います。

$(x^2)^2 - 2(x^2)(4y^2) + (4y^2)^2 = x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2+13xy-10y^2$

(2) $25a^2 - 16b^2$

(3) $a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4bc - 4ca$

(4) $x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4$