$x+y = \sqrt{6}$ かつ $xy = 2$ のとき、(1) $x^2 + y^2$ と (2) $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x+y = \sqrt{6}$ かつ $xy = 2$ のとき、(1) $x^2 + y^2$ と (2) $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2$ の値を求める。

$x^2+y^2$ を $(x+y)^2$ と $xy$ を用いて表すことを考える。

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ より、

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y = \sqrt{6}$ と $xy = 2$ を代入する。

(2) $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ の値を求める。

通分して一つの分数にする。

$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2y + 2x}{xy} = \frac{2(x+y)}{xy}$

$x+y = \sqrt{6}$ と $xy = 2$ を代入する。

3. 最終的な答え

(1)

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{6})^2 - 2(2) = 6 - 4 = 2$

(2)

$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2(x+y)}{xy} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

答え：

(1) 2

(2) $\sqrt{6}$