以下の3つの放物線を同じ座標平面上に描き、それぞれの実数解（もし存在すれば）を求めよ。 (i) $y = x^2$ (ii) $y = x^2 + 1$ (iii) $y = x^2 - 1$ 方程式： (a) $x^2 = 0$ (b) $x^2 + 1 = 0$ (c) $x^2 - 1 = 0$

## 問題 1

1. 問題の内容

以下の3つの放物線を同じ座標平面上に描き、それぞれの実数解（もし存在すれば）を求めよ。

(i) $y = x^2$

(ii) $y = x^2 + 1$

(iii) $y = x^2 - 1$

方程式：

(a) $x^2 = 0$

(b) $x^2 + 1 = 0$

(c) $x^2 - 1 = 0$

2. 解き方の手順

* 放物線の概形を描く。

* $y = x^2$は原点を頂点とする下に凸の放物線。

* $y = x^2 + 1$は$y = x^2$をy軸方向に1だけ平行移動させたもの。

* $y = x^2 - 1$は$y = x^2$をy軸方向に-1だけ平行移動させたもの。

* 各方程式の実数解を求める。

* $x^2 = 0$ は $x = 0$ を解に持つ。

* $x^2 + 1 = 0$ は実数解を持たない（$x^2 = -1$となり、実数の範囲では解が存在しない）。

* $x^2 - 1 = 0$ は $x^2 = 1$ となり、$x = 1$ と $x = -1$ を解に持つ。

3. 最終的な答え

* $y = x^2$ の実数解: $x = 0$

* $y = x^2 + 1$ の実数解: なし

* $y = x^2 - 1$ の実数解: $x = 1, -1$

## 問題 2

1. 問題の内容

以下の3つの放物線を同じ座標平面上に描き、x軸との交点の数について答えよ。

(i) $y = -x^2$

(ii) $y = 4 - x^2$

(iii) $y = -4 - x^2$

2. 解き方の手順

* 放物線の概形を描く。

* $y = -x^2$は原点を頂点とする上に凸の放物線。

* $y = 4 - x^2$は$y = -x^2$をy軸方向に4だけ平行移動させたもの。

* $y = -4 - x^2$は$y = -x^2$をy軸方向に-4だけ平行移動させたもの。

* x軸との交点の数を調べる。

* $y = -x^2$は原点でx軸と接する(1つの交点を持つ)。

* $y = 4 - x^2$はx軸と2点で交わる。 $4-x^2 = 0$より、$x = ±2$。

* $y = -4 - x^2$はx軸と交点を持たない。 $-4-x^2 = 0$より、$x^2 = -4$となり、実数解を持たない。

3. 最終的な答え

* (a) 2つの交点を持つグラフ: $y = 4 - x^2$

* (b) 1つの交点を持つグラフ: $y = -x^2$

* (c) 交点を持たないグラフ: $y = -4 - x^2$

## 問題 3

1. 問題の内容

以下の3つの放物線を同じ座標平面上に描き、係数がどのようにグラフに影響するかを説明せよ。

(i) $y = x^2$

(ii) $y = 3x^2$

(iii) $y = \frac{1}{3}x^2$

2. 解き方の手順

* 各放物線の概形を描く。

* $y = x^2$を基準に、係数が1より大きい場合と小さい場合でグラフの変化を考察する。

* $y = 3x^2$は$y = x^2$よりもy軸方向に拡大されたようなグラフになる(グラフが急になる)。

* $y = \frac{1}{3}x^2$は$y = x^2$よりもy軸方向に縮小されたようなグラフになる(グラフが緩やかになる)。

3. 最終的な答え

x^2の係数が大きいほど、放物線はy軸方向に引き伸ばされたように急峻になり、係数が小さいほど、放物線はy軸方向に縮められたように緩やかになる。

## 問題 4

1. 問題の内容

以下の3つの放物線を同じ座標平面上に描き、グラフの変換の種類を答えよ。

(i) $y = (x - 1)^2$

(ii) $y = (x - 1)^2 + 4$

(iii) $y = (x - 1)^2 - 4$

2. 解き方の手順

* 各放物線の概形を描く。

* $y = (x - 1)^2$を基準に、平行移動について考察する。

* $y = (x - 1)^2 + 4$は、$y = (x - 1)^2$をy軸方向に4だけ平行移動させたもの。

* $y = (x - 1)^2 - 4$は、$y = (x - 1)^2$をy軸方向に-4だけ平行移動させたもの。

3. 最終的な答え

これらの変換はすべて平行移動である。

## 問題 5

1. 問題の内容

以下の2つの放物線を同じ座標平面上に描き、これらのグラフがある直線に関して線対称であることを示し、その直線の式を求めよ。

(a) $y = (x - 2)^2$

(b) $y = -(x - 2)^2$

2. 解き方の手順

* 各放物線の概形を描く。

* $y = (x - 2)^2$は頂点が(2,0)で下に凸な放物線。

* $y = -(x - 2)^2$は頂点が(2,0)で上に凸な放物線。

これらのグラフはx軸に関して線対称である。

3. 最終的な答え

これらのグラフは直線 $y = 0$ (x軸) に関して線対称である。

## 問題 6

1. 問題の内容

以下の放物線を同じ座標平面上に描き、(a)の放物線の零点(x軸との交点)を求めよ。

(a) $y = x^2 - 4x + 3$

(b) $y = x^2 - 4x + 4$

(c) $y = x^2 - 4x + 5$

また、以下の多項式の零点を求めよ

(i) $x^2 - 4x + 3$

(ii) $x^2 - 4x + 4$

(iii) $x^2 - 4x + 5$

2. 解き方の手順

* 放物線(a)の零点(x軸との交点)を求める。

* $y = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0$ より、$x=1$と$x=3$。

* 各放物線の概形を描く。頂点を求めるためには平方完成を行う。

* $y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$。頂点は(2,-1)。

* $y = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$。頂点は(2,0)。

* $y = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$。頂点は(2,1)。

* 多項式の零点を求める。

* $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0$ より、$x=1$と$x=3$。

* $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ より、$x=2$。

* $x^2 - 4x + 5 = 0$。判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$ より、実数解は存在しない。

3. 最終的な答え

* $x^2 - 4x + 3$ の零点: $x = 1, 3$

* $x^2 - 4x + 4$ の零点: $x = 2$

* $x^2 - 4x + 5$ の零点: なし