与えられた等比数列について、以下の条件から初項と公比を求めます。 (1) 初めの2項の和が-2、次の2項の和が-8 (2) 初項から第3項までの和が3、第4項から第6項までの和が-24

1. 問題の内容

与えられた等比数列について、以下の条件から初項と公比を求めます。

(1) 初めの2項の和が-2、次の2項の和が-8

(2) 初項から第3項までの和が3、第4項から第6項までの和が-24

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$、公比を$r$とすると、初めの2項の和は$a + ar = a(1+r)$、次の2項の和は$ar^2 + ar^3 = ar^2(1+r)$となります。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a(1+r) = -2$

$ar^2(1+r) = -8$

2番目の式を1番目の式で割ると、$r^2 = 4$となるので、$r = \pm 2$が得られます。

$r=2$のとき、$a(1+2) = -2$より、$3a = -2$となり、$a = -\frac{2}{3}$。

$r=-2$のとき、$a(1-2) = -2$より、$-a = -2$となり、$a = 2$。

(2) 初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第3項までの和は$a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)$、第4項から第6項までの和は$ar^3 + ar^4 + ar^5 = ar^3(1+r+r^2)$となります。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a(1+r+r^2) = 3$

$ar^3(1+r+r^2) = -24$

2番目の式を1番目の式で割ると、$r^3 = -8$となるので、$r = -2$が得られます。

$r=-2$のとき、$a(1-2+4) = 3$より、$3a = 3$となり、$a = 1$。

3. 最終的な答え

(1)

初項: $-\frac{2}{3}$, 公比: $2$

または

初項: $2$, 公比: $-2$

(2)

初項: $1$, 公比: $-2$