与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。ただし、サラスの方法は使用できず、少なくとも1回は列に関する基本変形を行う必要があります。最終的には三角行列に変形し、対角成分を掛け合わせることで行列式を求めます。与えられた行列は $ \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3 & 6 \\ 5 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $ です。
2025/6/25
## 回答
1. 問題の内容
与えられた4x4行列の行列式を、基本変形を用いて計算する問題です。ただし、サラスの方法は使用できず、少なくとも1回は列に関する基本変形を行う必要があります。最終的には三角行列に変形し、対角成分を掛け合わせることで行列式を求めます。与えられた行列は
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
5 & 1 & 5 & 4 \\
2 & 6 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
です。
2. 解き方の手順
以下の手順で行列式を計算します。
ステップ1: 第1列を基準に、第2, 3, 4行の第1成分を0にするため、行基本変形を行います。
* 第2行 - (5/3) * 第1行 -> 第2行
* 第3行 - (2/3) * 第1行 -> 第3行
* 第4行 - (2/3) * 第1行 -> 第4行
この操作により行列は以下のようになります。
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 6 & 3 & -4 \\
0 & 3 & 4 & -3
\end{pmatrix}
ステップ2: 第2列を基準に、第3, 4行の第2成分を0にするため、行基本変形を行います。
* 第3行 - 6 * 第2行 -> 第3行
* 第4行 - 3 * 第2行 -> 第4行
この操作により行列は以下のようになります。
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 0 & -57 & 32 \\
0 & 0 & -26 & 15
\end{pmatrix}
ステップ3: 第3列を基準に、第4行の第3成分を0にするため、行基本変形を行います。
* 第4行 - (26/57) * 第3行 -> 第4行
この操作により行列は以下のようになります。
\begin{pmatrix}
3 & 0 & -3 & 6 \\
0 & 1 & 10 & -6 \\
0 & 0 & -57 & 32 \\
0 & 0 & 0 & -1.9649
\end{pmatrix}
小数点以下は計算機に計算してもらいました。
ステップ4: 対角成分を掛け合わせます。
行列式 = 3 * 1 * (-57) * (-1.9649) = 336.9273
3. 最終的な答え
336.9273