与えられた置換の積を計算する問題です。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ (3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

2. 解き方の手順

(1) 置換の積の計算手順

まず、右側の置換を左側の置換に作用させます。

右側の置換を $\sigma$、左側の置換を $\tau$ とすると、$\tau \circ \sigma$ を計算します。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \tau(\sigma(1)) & \tau(\sigma(2)) & \tau(\sigma(3)) \end{pmatrix}$

$\sigma(1) = 3$ より $\tau(\sigma(1)) = \tau(3) = 2$

$\sigma(2) = 1$ より $\tau(\sigma(2)) = \tau(1) = 3$

$\sigma(3) = 2$ より $\tau(\sigma(3)) = \tau(2) = 1$

したがって、

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 巡回置換の積の計算手順

巡回置換 $(1 \ 3)$ は 1 を 3 に、3 を 1 に写し、他の要素は不変に保つ置換を表します。同様に、$(2 \ 3)$ は 2 を 3 に、3 を 2 に写し、$(2 \ 4)$ は 2 を 4 に、4 を 2 に写します。

これらの置換を右から順に作用させていきます。

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

まず、$(2 \ 4)$ を作用させます。

1 は 1 に、2 は 4 に、3 は 3 に、4 は 2 に写ります。

次に、$(2 \ 3)$ を作用させます。

1 は 1 に、2 は 3 に、3 は 2 に、4 は 4 に写ります。$(2 \ 4)$ の結果に適用すると、

1 は 1 に、4 は 4 に写るので不変。2 が 4 に、3 は 3なので結果は2が3、3が2に写像される。つまり(2 3)。よって$(2 \ 3)(2 \ 4) = (2 \ 4 \ 3)$.

最後に、$(1 \ 3)$ を作用させます。$(2 \ 4 \ 3)$の結果に適用する。

1 は 3 に、3 は 1 に写ります。 2, 4は不変なのでそのままである。したがって、$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$ を作用させると、

1 は 3 に写り、3 は 1 に写るので$(2 \ 3)(2 \ 4)$の結果、1 は 1 から 3。3 は 2なので最終的には2。2は3で、次に 4。なので $1 \to 2$, $2 \to 4$, $4 \to 1$, 3はそのままである。

これは $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ に相当します.

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4) = (1 \ 2 \ 4)$という巡回置換ではないことに注意が必要です。なぜなら、$3$が固定点にならないからです。巡回置換の積は、互いに素な巡回置換の積として表現できますが、この例では一つの巡回置換では表現できません。この場合

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(3)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

あるいは

$(1 \ 3)(2 \ 4)$