数列 $\{a_n\}$: $1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の一般項を階差数列を用いて求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$: $1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の一般項を階差数列を用いて求めます。

2. 解き方の手順

まず、階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = 14 - 5 = 9$

$b_4 = 41 - 14 = 27$

よって、階差数列 $\{b_n\}$ は $1, 3, 9, 27, \dots$ となります。

これは初項1、公比3の等比数列なので、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ です。

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ は、 $n \ge 2$ のとき、次の式で表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 1$ であり、$b_k = 3^{k-1}$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 1 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k$

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^k$ は初項1、公比3、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^k = \frac{1 \cdot (3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

したがって、$a_n = 1 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{2 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$

これは $n=1$ のときも $a_1 = \frac{3^{1-1} + 1}{2} = \frac{3^0 + 1}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$ となり、成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^{n-1} + 1}{2}$