次の計算をしなさい。 (1) $2a(b-3c)$ (2) $x(2x+5)+3x(x-2)$ (3) $(24x^3+8x^2-8x) \div 8x$

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問1**

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。

(1) $2a(b-3c)$

(2) $x(2x+5)+3x(x-2)$

(3) $(24x^3+8x^2-8x) \div 8x$

2. 解き方の手順

(1) 分配法則を使って展開します。

$2a(b-3c) = 2ab - 6ac$

(2) 分配法則を使って展開し、同類項をまとめます。

$x(2x+5)+3x(x-2) = 2x^2 + 5x + 3x^2 - 6x = 5x^2 - x$

(3) 各項を$8x$で割ります。

$(24x^3+8x^2-8x) \div 8x = \frac{24x^3}{8x} + \frac{8x^2}{8x} - \frac{8x}{8x} = 3x^2 + x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $2ab-6ac$

(2) $5x^2 - x$

(3) $3x^2 + x - 1$

**問2**

1. 問題の内容

次の式を展開しなさい。(8)は計算しなさい。

(1) $(x-2)(y+7)$

(2) $(3x-2)(x-6)$

(3) $(a-3b+1)(a-4)$

(4) $(x-6)(x+1)$

(5) $(a+b)^2$

(6) $(x+7)(x-7)$

(7) $(x-y-8)(x+y+8)$

(8) $(2x-3)(2x+5)-2(x-3)^2$

2. 解き方の手順

(1) 分配法則を使って展開します。

$(x-2)(y+7) = xy + 7x - 2y - 14$

(2) 分配法則を使って展開します。

$(3x-2)(x-6) = 3x^2 - 18x - 2x + 12 = 3x^2 - 20x + 12$

(3) 分配法則を使って展開します。

$(a-3b+1)(a-4) = a^2 - 4a - 3ab + 12b + a - 4 = a^2 - 3ab - 3a + 12b - 4$

(4) 分配法則を使って展開します。

$(x-6)(x+1) = x^2 + x - 6x - 6 = x^2 - 5x - 6$

(5) 二項定理$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

(6) 和と差の積$(x+7)(x-7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

(7) $A=x, B=y+8$とおくと、$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$

$(x-y-8)(x+y+8) = (x-(y+8))(x+(y+8)) = x^2 - (y+8)^2 = x^2 - (y^2 + 16y + 64) = x^2 - y^2 - 16y - 64$

(8) $(2x-3)(2x+5)-2(x-3)^2 = (4x^2 + 10x - 6x - 15) - 2(x^2 - 6x + 9) = 4x^2 + 4x - 15 - 2x^2 + 12x - 18 = 2x^2 + 16x - 33$

3. 最終的な答え

(1) $xy + 7x - 2y - 14$

(2) $3x^2 - 20x + 12$

(3) $a^2 - 3ab - 3a + 12b - 4$

(4) $x^2 - 5x - 6$

(5) $a^2 + 2ab + b^2$

(6) $x^2 - 49$

(7) $x^2 - y^2 - 16y - 64$

(8) $2x^2 + 16x - 33$

**問3**

1. 問題の内容

(1) 次の式で、$\bigcirc$, $\Box$にあてはまる式を答えなさい。

$(\bigcirc + \Box) \div \frac{1}{2}xy = 6x-14$

(2) 次の式において$a,b,c$がすべて自然数のとき、$a$にあてはまる数をすべて答えなさい。

$(x+a)(x-b) = x^2 + cx - 24$

2. 解き方の手順

(1) $(\bigcirc + \Box) = (6x-14) \times \frac{1}{2}xy = 3x^2y - 7xy$

$\bigcirc + \Box = 3x^2y - 7xy$

$\bigcirc$と$\Box$の組み合わせは無数にありますが、例として$\bigcirc = 3x^2y$, $\Box = -7xy$

(2) $(x+a)(x-b) = x^2 + (a-b)x - ab = x^2 + cx - 24$

$ab = 24$となる自然数の組み合わせを探します。

(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1)

$c = a-b$なので、$a$と$b$の差も自然数である必要があります。

$a = 24, b = 1, c = 23$

$a = 12, b = 2, c = 10$

$a = 8, b = 3, c = 5$

$a = 6, b = 4, c = 2$

したがって、$a$は24, 12, 8, 6

3. 最終的な答え

(1) $\bigcirc = 3x^2y$, $\Box = -7xy$ (例)

(2) $a = 6, 8, 12, 24$

**問4**

1. 問題の内容

次の式を因数分解しなさい。

(1) $x^2+5x$

(2) $6xy-8y^2-2y$

(3) $x^2+9x+18$

(4) $x^2-a^2$

(5) $9x^2-30x+25$

(6) $4x^2-16x+16-(x+3)^2$

(7) $(x-5)^2+2(x-3)-4$

(8) $a^2b+1-a^2-b$

2. 解き方の手順

(1) 共通因数$x$でくくります。

$x^2+5x = x(x+5)$

(2) 共通因数$2y$でくくります。

$6xy-8y^2-2y = 2y(3x-4y-1)$

(3) $x^2+9x+18 = (x+3)(x+6)$

(4) 和と差の積の公式を利用します。

$x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$

(5) $(3x)^2 - 2(3x)(5) + 5^2 = (3x-5)^2$

(6) $4x^2 - 16x + 16 - (x^2 + 6x + 9) = 3x^2 - 22x + 7 = (3x-1)(x-7)$

(7) $(x-5)^2 + 2(x-3) - 4 = x^2 - 10x + 25 + 2x - 6 - 4 = x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$

(8) $a^2b - a^2 - b + 1 = a^2(b-1) - (b-1) = (a^2-1)(b-1) = (a-1)(a+1)(b-1)$

3. 最終的な答え

(1) $x(x+5)$

(2) $2y(3x-4y-1)$

(3) $(x+3)(x+6)$

(4) $(x-a)(x+a)$

(5) $(3x-5)^2$

(6) $(3x-1)(x-7)$

(7) $(x-3)(x-5)$

(8) $(a-1)(a+1)(b-1)$