$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$ を証明する。

1. 問題の内容

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$ を証明する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ より、$ad = bc$ であることが言えます。

証明したい式の右辺を変形していきます。

$\frac{ad+bc}{2bd} = \frac{ad+ad}{2bd} = \frac{2ad}{2bd} = \frac{ad}{bd} = \frac{a}{b}$

次に、与えられた条件 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ から、$a = \frac{bc}{d}$ という関係が導けます。これを左辺の式に代入すると：

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{\frac{bc}{d}+c}{b+d} = \frac{\frac{bc+cd}{d}}{b+d} = \frac{bc+cd}{d(b+d)} = \frac{c(b+d)}{d(b+d)} = \frac{c}{d}$

したがって、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d} = \frac{a}{b}$ が成り立つことがわかります。

一方、右辺は $\frac{ad+bc}{2bd} = \frac{ad}{bd} = \frac{a}{b}$ となります。

結論として、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b} = \frac{ad+bc}{2bd}$ は成り立ちません。問題に誤りがある可能性があります。

ただし、もし証明すべき式が $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ ならば、以下の手順で証明できます。

$\frac{a+c}{b+d}$ に対して、$a = kb$ かつ $c = kd$ となる $k$ が存在するとします。 このとき

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{kb+kd}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k$

一方、 $\frac{a}{b} = \frac{kb}{b} = k$ なので、 $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ が成り立ちます。

$\frac{c}{d}$についても同様に示すことができます。

右辺も変形して$\frac{a}{b}$になることを示します。$ad = bc$ なので$bc$の代わりに$ad$を代入して、

$\frac{ad+bc}{2bd} = \frac{ad+ad}{2bd} = \frac{2ad}{2bd} = \frac{a}{b}$

となります。

したがって、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{ad+bc}{2bd}$ は成り立ちません。

3. 最終的な答え

問題に誤りがあるため、与えられた等式は証明できません。もし問題が $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ であれば証明可能です。その場合は、$\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ となります。