問題1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列をそれぞれ求めます。 問題2: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式をそれぞれ求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題1: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列をそれぞれ求めます。

問題2: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) 行列 A の逆行列を求める。

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ のとき、$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ である。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ なので、$ad - bc = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$

よって、$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

(2) 行列 B の逆行列を求める。

$B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

行列式は後で計算する。

余因子行列を求める。

$C_{11} = (3)(1) - (2)(-2) = 3 + 4 = 7$

$C_{12} = -((-1)(1) - (2)(0)) = -(-1) = 1$

$C_{13} = (-1)(-2) - (3)(0) = 2$

$C_{21} = -(0(1) - (-1)(-2)) = -(0 - 2) = 2$

$C_{22} = (4)(1) - (-1)(0) = 4$

$C_{23} = -(4(-2) - 0(0)) = -(-8) = 8$

$C_{31} = (0)(2) - (-1)(3) = 3$

$C_{32} = -(4(2) - (-1)(-1)) = -(8 - 1) = -7$

$C_{33} = (4)(3) - (0)(-1) = 12$

余因子行列は $\begin{pmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & -7 & 12 \end{pmatrix}$

転置行列は $\begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -7 \\ 2 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

行列 B の行列式を求める:

$\det(B) = 4(3\cdot1 - 2\cdot(-2)) - 0 + (-1)((-1)\cdot(-2) - 3\cdot 0) = 4(3+4) - 1(2) = 4(7) - 2 = 28 - 2 = 26$

$B^{-1} = \frac{1}{26} \begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -7 \\ 2 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

問題2:

(1) 行列 A の行列式を求める。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

$\det(A) = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$

(2) 行列 B の行列式を求める。

行列 B の行列式は、問題1で既に計算済み。

$\det(B) = 26$

3. 最終的な答え

問題1:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \frac{1}{26} \begin{pmatrix} 7 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -7 \\ 2 & 8 & 12 \end{pmatrix}$

問題2:

$\det(A) = -1$

$\det(B) = 26$