数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。ただし、初項は $a_1 = 5$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 7a_n - 12$ で与えられます。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の一般項を求める問題です。ただし、初項は $a_1 = 5$ であり、漸化式は $a_{n+1} = 7a_n - 12$ で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} - \alpha = 7(a_n - \alpha)$ の形に変形します。

$a_{n+1} = 7a_n - 12$ と $a_{n+1} - \alpha = 7(a_n - \alpha)$ を比較すると、

$\alpha = 7\alpha - 12$ が成り立つ必要があります。

この方程式を解くと、

$6\alpha = 12$

$\alpha = 2$

となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} - 2 = 7(a_n - 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 7b_n$ となり、数列$\{b_n\}$は公比7の等比数列となります。

初項は $b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ です。

したがって、$b_n = 3 \cdot 7^{n-1}$ となります。

$b_n = a_n - 2$ より、$a_n = b_n + 2$ ですから、

$a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2$ が一般項となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 7^{n-1} + 2$