2次関数 $y = mx^2 + 4x + m - 3$ において、yの値が常に負となるような $m$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = mx^2 + 4x + m - 3$ において、yの値が常に負となるような $m$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

yの値が常に負であるためには、以下の2つの条件が必要です。

(1) 2次関数の係数 $m$ が負であること。つまり、$m < 0$。

(2) 判別式 $D$ が負であること。つまり、$D < 0$。これは、2次関数がx軸と交わらないことを意味します。

判別式Dは、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の問題では、$a = m$, $b = 4$, $c = m - 3$ です。

したがって、

$D = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (m - 3) = 16 - 4m^2 + 12m$

$D = -4m^2 + 12m + 16$

$D < 0$ となる条件を求めます。

$-4m^2 + 12m + 16 < 0$

両辺を-4で割ると、

$m^2 - 3m - 4 > 0$

$(m - 4)(m + 1) > 0$

したがって、$m < -1$ または $m > 4$。

上記の(1)と(2)の条件を満たす $m$ の範囲を求める必要があります。

(1)より、$m < 0$。

(2)より、$m < -1$ または $m > 4$。

したがって、これらを両方満たすのは $m < -1$ の場合のみです。

3. 最終的な答え

$m < -1$