放物線 $y = -x^2 + 2x + 6$ を、$x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $a^2$ だけ平行移動した曲線が原点を通るとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 6$ を、$x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $a^2$ だけ平行移動した曲線が原点を通るとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動後の放物線の方程式を求めます。$x$ 軸方向に $a$、$y$ 軸方向に $a^2$ だけ平行移動するので、$x$ を $x-a$、$y$ を $y-a^2$ に置き換えます。

$y - a^2 = -(x - a)^2 + 2(x - a) + 6$

(2) 上記の方程式を整理します。

$y = -(x^2 - 2ax + a^2) + 2x - 2a + 6 + a^2$

$y = -x^2 + 2ax - a^2 + 2x - 2a + 6 + a^2$

$y = -x^2 + (2a + 2)x - 2a + 6$

(3) 平行移動後の放物線が原点を通ることから、$x = 0$、$y = 0$ を代入します。

$0 = -0^2 + (2a + 2) \cdot 0 - 2a + 6$

$0 = -2a + 6$

(4) 上記の方程式を解いて、$a$ の値を求めます。

$2a = 6$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$