$(3x - \frac{1}{4x})^6$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x - \frac{1}{4x})^6$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求め、その一般項が $x^2$ の項となるような条件を求めます。その後、その条件を満たす一般項の係数を計算します。

二項定理より、$(3x - \frac{1}{4x})^6$ の展開式の一般項は、

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{}_6 C_r (3x)^{6-r} (-\frac{1}{4x})^r = {}_6 C_r 3^{6-r} (-\frac{1}{4})^r x^{6-r} x^{-r} = {}_6 C_r 3^{6-r} (-\frac{1}{4})^r x^{6-2r}

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となります。ここで、$x^{6-2r} = x^2$ となる $r$ を求めます。

$6-2r = 2$ より、$2r = 4$ なので、$r = 2$ となります。

したがって、$x^2$ の項は、$r=2$ のときなので、

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{}_6 C_2 (3x)^{6-2} (-\frac{1}{4x})^2 = {}_6 C_2 (3x)^4 (-\frac{1}{4x})^2 = {}_6 C_2 \cdot 3^4 \cdot (-\frac{1}{4})^2 \cdot x^{4-2+0}

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であり、$x^2$ の項の係数は、

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{}_6 C_2 \cdot 3^4 \cdot (-\frac{1}{4})^2 = \frac{6!}{2!4!} \cdot 81 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{81}{16} = 15 \cdot \frac{81}{16} = \frac{1215}{16}

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となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1215}{16}$