3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 18 = 0$ が $x=1$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と、他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 18 = 0$ が $x=1$ と $x=3$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と、他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x=1$ と $x=3$ が解であるから、方程式に代入すると以下の式が成り立つ。

$1^3 + a(1)^2 + b(1) + 18 = 0$

$3^3 + a(3)^2 + b(3) + 18 = 0$

これらを整理すると、

$1 + a + b + 18 = 0$

$27 + 9a + 3b + 18 = 0$

つまり、

$a + b = -19$ ...(1)

$9a + 3b = -45$ ...(2)

(2)式を3で割ると、

$3a + b = -15$ ...(3)

(3)式から(1)式を引くと、

$2a = 4$

$a = 2$

(1)式に $a = 2$ を代入すると、

$2 + b = -19$

$b = -21$

よって、$a = 2$, $b = -21$ である。

方程式は、$x^3 + 2x^2 - 21x + 18 = 0$ となる。

$x=1$と$x=3$が解であることから、$(x-1)(x-3)$で割り切れる。

$(x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3$

$x^3 + 2x^2 - 21x + 18$ を $x^2 - 4x + 3$ で割ると、

$x^3 + 2x^2 - 21x + 18 = (x^2 - 4x + 3)(x + 6)$

よって、$(x-1)(x-3)(x+6) = 0$

したがって、他の解は $x = -6$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -21$, 他の解は $x = -6$