3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 56 = 0$ が $x=2$ と $x=-4$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 56 = 0$ が $x=2$ と $x=-4$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

$x=2$ と $x=-4$ が解であることから、

$2^3 + a(2^2) + b(2) + 56 = 0$ と $(-4)^3 + a(-4)^2 + b(-4) + 56 = 0$ が成り立つ。

これらの式を整理すると、

$8 + 4a + 2b + 56 = 0$ より $4a + 2b = -64$, すなわち $2a + b = -32$

$-64 + 16a - 4b + 56 = 0$ より $16a - 4b = 8$, すなわち $4a - b = 2$

上記の2つの式を連立方程式として解く。

$2a + b = -32$

$4a - b = 2$

2つの式を足し合わせると、$6a = -30$ となるので、$a = -5$。

$a = -5$ を $2a + b = -32$ に代入すると、$2(-5) + b = -32$ より $-10 + b = -32$ となるので、$b = -22$。

よって、方程式は $x^3 - 5x^2 - 22x + 56 = 0$ となる。

$x=2$ と $x=-4$ が解なので、$(x-2)(x+4)$ で割り切れるはずである。

$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$

多項式除算により、$x^3 - 5x^2 - 22x + 56$ を $x^2 + 2x - 8$ で割ると、商は $x - 7$ となり、余りは0となる。

したがって、$x^3 - 5x^2 - 22x + 56 = (x-2)(x+4)(x-7) = 0$

よって、$x = 2, -4, 7$ が解となる。他の解は $x=7$。

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = -22$

他の解: $7$