## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の2つの2次関数を求める問題です。

1. $x=1$ で最大値 $3$ をとり、グラフが点 $(2, 1)$ を通る。$y = ax^2 + bx + c$ の形で答えよ。

2. グラフが点 $(-4, 0)$ で接し、点 $(-6, 8)$ を通る。$y = ax^2 + bx + c$ の形で答えよ。

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2. 解き方の手順

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1. の問題

1. 最大値に関する条件より、頂点の座標が $(1, 3)$ であることがわかります。

したがって、2次関数は $y = a(x - 1)^2 + 3$ と表せます。

2. グラフが点 $(2, 1)$ を通るという条件から、$x = 2$, $y = 1$ を代入すると、

$1 = a(2 - 1)^2 + 3$

$1 = a + 3$

$a = -2$

したがって、$y = -2(x - 1)^2 + 3$ となります。

3. これを $y = ax^2 + bx + c$ の形に展開します。

$y = -2(x^2 - 2x + 1) + 3$

$y = -2x^2 + 4x - 2 + 3$

$y = -2x^2 + 4x + 1$

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2. の問題

1. グラフが点 $(-4, 0)$ で接するという条件より、この点はグラフの頂点であり、2次関数は $y = a(x + 4)^2$ と表せます。

2. グラフが点 $(-6, 8)$ を通るという条件から、$x = -6$, $y = 8$ を代入すると、

$8 = a(-6 + 4)^2$

$8 = a(-2)^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、$y = 2(x + 4)^2$ となります。

3. これを $y = ax^2 + bx + c$ の形に展開します。

$y = 2(x^2 + 8x + 16)$

$y = 2x^2 + 16x + 32$

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3. 最終的な答え

1. $y = -2x^2 + 4x + 1$

2. $y = 2x^2 + 16x + 32$