3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が、$x = -2$ と $x = 3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 54 = 0$ が、$x = -2$ と $x = 3$ を解に持つとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = -2$ と $x = 3$ が解であるから、これらを方程式に代入すると、

$(-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 54 = 0$

$-8 + 4a - 2b - 54 = 0$

$4a - 2b = 62$

$2a - b = 31$ ...(1)

$(3)^3 + a(3)^2 + b(3) - 54 = 0$

$27 + 9a + 3b - 54 = 0$

$9a + 3b = 27$

$3a + b = 9$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1) + (2) より、

$2a - b + 3a + b = 31 + 9$

$5a = 40$

$a = 8$

(2)に代入すると、

$3(8) + b = 9$

$24 + b = 9$

$b = -15$

よって、方程式は

$x^3 + 8x^2 - 15x - 54 = 0$

この方程式は、$x = -2$ と $x = 3$ を解にもつので、

$(x + 2)(x - 3)(x - c) = 0$ と因数分解できる。

$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$ なので、

$(x^2 - x - 6)(x - c) = x^3 + 8x^2 - 15x - 54$

$x^3 - cx^2 - x^2 + cx - 6x + 6c = x^3 + 8x^2 - 15x - 54$

$x^3 - (c + 1)x^2 + (c - 6)x + 6c = x^3 + 8x^2 - 15x - 54$

係数を比較すると、

$-(c+1) = 8$, $c - 6 = -15$, $6c = -54$

これらより、 $c = -9$

したがって、他の解は $x = -9$

3. 最終的な答え

$a = 8$

$b = -15$

他の解: $x = -9$